कणों के निकाय तथा घूर्णी गति

कक्षा 11 भौतिक विज्ञान - त्वरित रिवीजन नोट्स एवं सूत्र

अध्याय: कणों के निकाय तथा घूर्णी गति (System of Particles and Rotational Motion)

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1. द्रव्यमान केंद्र (Center of Mass - COM)

• परिभाषा: किसी निकाय का द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु होता है जहाँ निकाय का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जा सकता है और जिस पर बाह्य बल लगाने पर निकाय में केवल स्थानांतरीय गति होती है।

• दो कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र:

$$X{cm} = \frac{m1 x1 + m2 x2}{m1 + m_2}$$

• N-कणों के निकाय का स्थिति सदिश (Position Vector):

$$\vec{R}{cm} = \frac{\sum{i=1}^{n} mi \vec{r}i}{M}$$

(जहाँ $M = \sum mi = m1 + m2 + ... + mn$ संपूर्ण निकाय का द्रव्यमान है)

• द्रव्यमान केंद्र का वेग:

$$\vec{v}{cm} = \frac{m1 \vec{v}1 + m2 \vec{v}2 + ...}{M} = \frac{\sum mi \vec{v}_i}{M}$$

• द्रव्यमान केंद्र का त्वरण:

$$\vec{a}{cm} = \frac{\sum mi \vec{a}i}{M} = \frac{\vec{F}{ext}}{M}$$

• संवेग संरक्षण: यदि निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य हो ($\vec{F}{ext} = 0$), तो द्रव्यमान केंद्र का वेग नियत रहता है ($\vec{v}{cm} =$ नियतांक)।

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2. सदिशों का सदिश गुणनफल (Vector / Cross Product)

• सूत्र:

$$\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin\theta \, \hat{n}$$

(जहाँ $\theta$ दोनों सदिशों के बीच का कोण है तथा $\hat{n}$ दोनों के तल के लंबवत एकक सदिश है।)

• मुख्य गुण:

1. $\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$ (क्रम-विनिमेय नियम का पालन नहीं करता)

2. एकांक सदिशों के लिए:

• $\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0$
• $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, \quad \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}, \quad \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$

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3. घूर्णी गति की मूलभूत राशियाँ (Rotational Motion Kinematics)

| राशि | परिभाषा / सूत्र | SI मात्रक |

| :--- | :--- | :--- |

| कोणीय विस्थापन ($\theta$) | $\theta = \frac{\text{चाप}}{\text{त्रिज्या}} = \frac{s}{r}$ | रेडियन (rad) |

| कोणीय वेग ($\omega$) | $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ | rad/s |

| कोणीय त्वरण ($\alpha$) | $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$ | rad/s² |

• रेखीय एवं कोणीय राशियों में संबंध:
• रेखीय वेग: $v = r \cdot \omega$
• स्पर्शरेखीय त्वरण: $a_t = r \cdot \alpha$
• अभिकेंद्री त्वरण: $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

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4. बल आघूर्ण एवं कोणीय संवेग (Torque and Angular Momentum)

• बल आघूर्ण ($\vec{\tau}$): बल द्वारा किसी वस्तु को घूर्णन अक्ष के परितः घुमाने के प्रभाव को बल आघूर्ण कहते हैं।

$$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$$

$$\tau = r F \sin\theta$$

(मात्रक: $N \cdot m$)

• कोणीय संवेग ($\vec{L}$): रेखीय संवेग के आघूर्ण को कोणीय संवेग कहते हैं।

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$$

$$L = r p \sin\theta = I \omega$$

(मात्रक: $kg \cdot m^2/s$)

• बल आघूर्ण एवं कोणीय संवेग में संबंध:

$$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$$

• कोणीय संवेग संरक्षण का नियम:

यदि किसी निकाय पर लगने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य हो ($\tau_{ext} = 0$), तो निकाय का कुल कोणीय संवेग नियत रहता है।

$$\vec{L} = I \omega = \text{नियतांक}$$

$$I1 \omega1 = I2 \omega2$$

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5. जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia - I)

• परिभाषा: किसी घूर्णन अक्ष के परितः पिंड के द्रव्यमान वितरण और अक्ष से दूरी के वर्ग के गुणनफल के योग को जड़त्व आघूर्ण कहते हैं।

$$I = \sum{i=1}^{n} mi r_i^2$$

(मात्रक: $kg \cdot m^2$)

• घूर्णन त्रिज्या (Radius of Gyration - $k$):

$$I = M k^2 \implies k = \sqrt{\frac{I}{M}}$$

#### महत्वपूर्ण प्रमेय (Theorems of Moment of Inertia)

1. लंबवत अक्षों की प्रमेय (Perpendicular Axes Theorem):

केवल समतलीय पटल (2D) के लिए मान्य:

$$Iz = Ix + I_y$$

(जहाँ $x, y, z$ परस्पर लंबवत अक्ष हैं तथा $z$-अक्ष पटल के लंबवत है।)

2. समानांतर अक्षों की प्रमेय (Parallel Axes Theorem):

किसी भी पिंड के लिए मान्य:

$$I = I_{cm} + M h^2$$

(जहाँ $I_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है तथा $h$ दोनों समानांतर अक्षों के बीच की दूरी है।)

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6. प्रमुख वस्तुओं का जड़त्व आघूर्ण (Standard Moments of Inertia)

| वस्तु | घूर्णन अक्ष | जड़त्व आघूर्ण ($I$) |

| :--- | :--- | :--- |

| पतली छड़ (लेंथ $L$) | केंद्र से गुजरने वाली लंबवत अक्ष | $\frac{1}{12} M L^2$ |

| पतली छड़ (लेंथ $L$) | एक सिरे से गुजरने वाली लंबवत अक्ष | $\frac{1}{3} M L^2$ |

| वृत्ताकार वलय (Ring) | केंद्र से गुजरने वाली तल के लंबवत अक्ष | $M R^2$ |

| वृत्ताकार वलय (Ring) | व्यास (Diameter) | $\frac{1}{2} M R^2$ |

| वृत्ताकार डिस्क (Disc) | केंद्र से गुजरने वाली तल के लंबवत अक्ष | $\frac{1}{2} M R^2$ |

| वृत्ताकार डिस्क (Disc) | व्यास (Diameter) | $\frac{1}{4} M R^2$ |

| ठोस गोला (Solid Sphere) | व्यास (Diameter) | $\frac{2}{5} M R^2$ |

| खोखला गोला (Hollow Sphere)| व्यास (Diameter) | $\frac{2}{3} M R^2$ |

| ठोस बेलन (Solid Cylinder) | स्वयं की अक्ष | $\frac{1}{2} M R^2$ |

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7. घूर्णी गति के समीकरण (Equations of Rotational Motion)

समान कोणीय त्वरण ($\alpha = \text{नियतांक}$) के लिए:

1. $\omega = \omega_0 + \alpha t$

2. $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$

3. $\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta$

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8. स्थानांतरीय गति एवं घूर्णी गति में तुलना

| कार्य/राशि | स्थानांतरीय गति | घूर्णी गति |

| :--- | :--- | :--- |

| विस्थापन | $x$ | $\theta$ |

| वेग | $v$ | $\omega$ |

| त्वरण | $a$ | $\alpha$ |

| द्रव्यमान/जड़त्व | $m$ | जड़त्व आघूर्ण ($I$) |

| बल / बल आघूर्ण | $F = m a$ | $\tau = I \alpha$ |

| संवेग | $p = m v$ | $L = I \omega$ |

| गतिज ऊर्जा | $K = \frac{1}{2} m v^2$ | $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ |

| कार्य | $W = F \cdot x$ | $W = \tau \cdot \theta$ |

| शक्ति | $P = F \cdot v$ | $P = \tau \cdot \omega$ |

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9. लोटिनिक गति (Rolling Motion)

जब कोई पिंड बिना फिसलते हुए किसी सतह पर लुढ़कता है, तो उसकी गति को लोटिनिक गति कहते हैं। इसमें स्थानांतरीय गति एवं घूर्णी गति दोनों सम्मिलित होती हैं।

• शुद्ध लोटिनिक गति की शर्त:

$$v_{cm} = R \omega$$

• कुल गतिज ऊर्जा:

$$K{total} = K{trans} + K_{rot}$$

$$K{total} = \frac{1}{2} M v{cm}^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$$

$$K{total} = \frac{1}{2} M v{cm}^2 \left( 1 + \frac{k^2}{R^2} \right)$$

(जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।)

• अवनत तल (Inclined Plane) पर बिना फिसले लुढ़कते पिंड का त्वरण:

$$a = \frac{g \sin\theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$$