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गुरुत्वाकर्षण

Subject: भौतिक विज्ञान | Class: Class 11 | Syllabus Year: 2025-26
मुख्य सूत्र (Key Formulas)

कक्षा 11 भौतिक विज्ञान - अध्याय: गुरुत्वाकर्षण (Gravitation)

क्विक रिवीजन नोट्स एवं महत्वपूर्ण सूत्र (Formula Sheet)


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1. न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम (Newton's Law of Gravitation)

ब्रह्मांड में किन्हीं दो पिंडों के बीच लगने वाला आकर्षण बल उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती तथा उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।



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2. गुरुत्वीय त्वरण (Acceleration due to Gravity - g)

पृथ्वी के आकर्षण बल के कारण वस्तु में उत्पन्न त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण कहते हैं।



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3. गुरुत्वीय त्वरण (g) के मान में परिवर्तन

#### (i) पृथ्वी की सतह से ऊंचाई (h) पर:


#### (ii) पृथ्वी की सतह से गहराई (d) पर:


#### (iii) पृथ्वी के घूर्णन तथा अक्षांश (λ) के कारण:


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4. गुरुत्वीय क्षेत्र, विभव एवं स्थितिज ऊर्जा




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5. पलायन वेग (Escape Velocity - v_e)

वह न्यूनतम वेग जिससे किसी पिंड को फेंकने पर वह पृथ्वी के गुरुत्वीय क्षेत्र को पार कर जाता है और वापस नहीं लौटता।



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6. उपग्रह की गति (Motion of Satellite)

#### (i) कक्षीय चाल (Orbital Velocity - v_o):


#### (ii) परिक्रमण काल (Time Period - T):


#### (iii) उपग्रह की ऊर्जा:


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7. केपलर के ग्रह सम्बंधी नियम (Kepler's Laws)

1. प्रथम नियम (कक्षाओं का नियम): सभी ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्ताकार (Elliptical) कक्षाओं में चक्कर लगाते हैं तथा सूर्य कक्षा के किसी एक फोकस पर स्थित होता है।

2. द्वितीय नियम (क्षेत्रफल का नियम): ग्रह को सूर्य से मिलाने वाली रेखा समान समय में समान क्षेत्रफल तय करती है (क्षेत्रीय चाल नियत रहती है)।

3. तृतीय नियम (परिक्रमण काल का नियम): ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग (T^2), उसकी दीर्घवृत्ताकार कक्षा के अर्ध-दीर्घ अक्ष (a) के घन के समानुपाती होता है।


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8. भू-स्थिर उपग्रह (Geostationary / Geosynchronous Satellite)

माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 गुरुत्वाकर्षण (Gravitation)
Overview
केप्लर के ग्रहीय गति के नियम प्रथम नियम (कक्षा का नियम): ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं में चक्कर लगाते हैं द्वितीय नियम (क्षेत्रफल का नियम): ग्रह की क्षेत्रीय चाल नियत रहती है (कोणीय संवेग संरक्षण) तृतीय नियम (आवर्तकाल का नियम): परिक्रमण काल का वर्ग अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होता है ($T^2 \propto a^3$) न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम कथन: दो पिंडों के बीच बल उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है सूत्र: $F = G \frac{m1 m2}{r^2}$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक ($G$): मान: $6.67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ विमा: $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ प्रकृति: सार्वत्रिक (माध्यम पर निर्भर नहीं करता) गुरुत्वीय त्वरण ($g$) परिभाषा: पृथ्वी के आकर्षण बल के कारण वस्तु में उत्पन्न त्वरण सूत्र: $g = \frac{GM}{R^2}$ सतह पर मान: लगभग $9.8 \text{ m/s}^2$ $g$ के मान में परिवर्तन: ऊँचाई के साथ: घटता है ($g' = g(1 - \frac{2h}{R})$) गहराई के साथ: घटता है ($g' = g(1 - \frac{d}{R})$) पृथ्वी के केंद्र पर: शून्य ($g = 0$) अक्षांश (घूर्णन) के कारण: ध्रुवों पर अधिकतम, भूमध्य रेखा पर न्यूनतम गुरुत्वीय क्षेत्र और विभव गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता ($E$): एकांक द्रव्यमान पर लगने वाला बल ($E = \frac{GM}{r^2}$) गुरुत्वीय विभव ($V$): एकांक द्रव्यमान को अनंत से लाने में किया गया कार्य ($V = -\frac{GM}{r}$) गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा ($U$): दो पिंडों के निकाय की ऊर्जा ($U = -\frac{GMm}{r}$) पलायन वेग ($v_e$) परिभाषा: वह न्यूनतम वेग जिससे फेंकने पर वस्तु गुरुत्वीय क्षेत्र को पार कर जाए सूत्र: $v_e = \sqrt{2gR} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ पृथ्वी के लिए मान: $11.2 \text{ km/s}$ विशेषता: पिंड के द्रव्यमान और प्रक्षेप कोण पर निर्भर नहीं करता उपग्रह की गति (Satellite Motion) कक्षीय वेग ($vo$): उपग्रह को कक्षा में बनाए रखने के लिए आवश्यक वेग ($vo = \sqrt{gR}$) पलायन वेग और कक्षीय वेग में संबंध: $ve = \sqrt{2} \, vo$ परिक्रमण काल ($T$): एक चक्कर पूरा करने में लगा समय कृत्रिम उपग्रहों के प्रकार: भू-स्थिर उपग्रह: आवर्तकाल: 24 घंटे ऊँचाई: लगभग $36,000 \text{ km}$ उपयोग: संचार और टीवी प्रसारण ध्रुवीय उपग्रह: गति दिशा: उत्तर-दक्षिण (ध्रुवों के ऊपर) ऊँचाई: कम ($500 - 800 \text{ km}$) उपयोग: मौसम पूर्वानुमान और रिमोट सेंसिंग भारहीनता (Weightlessness) कारण: प्रतिक्रिया बल का शून्य होना ($R = 0$) स्थितियाँ: स्वतंत्र रूप से गिरती लिफ्ट में उपग्रह के अंदर अंतरिक्ष यात्री द्वारा महसूस होना पृथ्वी के केंद्र पर
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
Q1. पृथ्वी की सतह के निकट परिक्रमा कर रहे उपग्रह की कक्षीय चाल लगभग होती है: 1 Marks
उत्तर (Answer): कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{g R} = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} \approx 7.92\text{ किमी/सेकंड} \approx 8\text{ किमी/सेकंड}$।
Q2. पृथ्वी की सतह से पलायन वेग के आधे वेग ($v = \frac{v_e}{2}$) से लंबवत ऊपर की ओर फेंके गए प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई कितनी होगी? 1 Marks
उत्तर (Answer): ऊर्जा संरक्षण नियम से: $-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m v^2 = -\frac{GMm}{R+h}$। चूकि $v^2 = \frac{v_e^2}{4} = \frac{2GM}{4R} = \frac{GM}{2R}$, मान रखने पर $h = \frac{R}{3}$ प्राप्त होता है।
Q3. अंतरिक्ष कक्षा में घूम रहे अंतरिक्ष स्टेशन के अंदर एक अंतरिक्ष यात्री भारहीनता का अनुभव करता है क्योंकि: 1 Marks
उत्तर (Answer): अंतरिक्ष यात्री और स्टेशन दोनों गुरुत्वीय त्वरण $g$ के साथ पृथ्वी की ओर मुक्त रूप से गिर रहे हैं, जिससे सामान्य प्रतिक्रिया बल शून्य हो जाता है।
Q4. त्रिज्या $R$ की वृत्ताकार कक्षा में पृथ्वी की सतह के समीप चक्कर लगा रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा होती है: 1 Marks
उत्तर (Answer): गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2R}$ तथा स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R}$ होती है। कुल ऊर्जा $E = K + U = -\frac{GMm}{2R}$ होती है।
Q5. यदि पृथ्वी अपनी अक्ष पर घूर्णन बंद कर दे, तो भूमध्य रेखा (विषुवत रेखा) पर $g$ का मान: 1 Marks
उत्तर (Answer): अक्षांश $\phi$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$ होता है। भूमध्य रेखा ($ \phi = 0^\circ$) पर $g' = g - \omega^2 R$ है। यदि $\omega = 0$ हो जाए, तो $g'$ का मान बढ़कर $g$ हो जाएगा।
Q6. द्रव्यमान $M$ तथा त्रिज्या $R$ के एक पतले एकसमान गोलीय कोष के अंदर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता होती है: 1 Marks
उत्तर (Answer): एकसमान गोलीय कोष के अंदर किसी भी कण पर कुल गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है, इसलिए गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है।
Q7. यदि किसी ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी से दोगुना तथा त्रिज्या पृथ्वी से दोगुनी है, तो उस ग्रह तथा पृथ्वी के पलायन वेगों का अनुपात होगा: 1 Marks
उत्तर (Answer): $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$। यदि $M' = 2M$ और $R' = 2R$, तो $v_e' = \sqrt{\frac{2G(2M)}{2R}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = v_e$। अतः अनुपात $1:1$ होगा।
Q8. दो पिण्डों के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल की प्रकृति कैसी होती है? 1 Marks
उत्तर (Answer): गुरुत्वाकर्षण बल सदैव आकर्षक प्रकृति का, संरक्षी और दो पिण्डों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश होता है।
Q9. पृथ्वी की सतह से कितनी गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण का मान सतह के मान का आधा ($g/2$) हो जाता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): गहराई के साथ $g$ में परिवर्तन $g' = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$ होता है। $g' = \frac{g}{2}$ रखने पर, $1 - \frac{d}{R} = \frac{1}{2} \implies d = \frac{R}{2}$।
Q10. पृथ्वी की सतह से तुल्यकाली उपग्रह की लगभग ऊंचाई होती है: 1 Marks
उत्तर (Answer): तुल्यकाली उपग्रह पृथ्वी की सतह से लगभग $36,000\text{ किमी}$ (या $35,800\text{ किमी}$) की ऊंचाई पर परिक्रमा करता है।
Q11. पृथ्वी के केंद्र (द्रव्यमान $M$) से $r$ ($r > R$) दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होती है: 1 Marks
उत्तर (Answer): गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{G M m}{r}$ होती है, जहाँ शून्य स्थितिज ऊर्जा का संदर्भ बिंदु अनंत पर लिया जाता है।
Q12. केपलर के तृतीय नियम के अनुसार, किसी ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग ($T^2$) किसके समानुपाती होता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): केपलर के आवर्तकाल के नियम के अनुसार $T^2 \propto a^3$, जहाँ $a$ दीर्घवृत्ताकार कक्षा का अर्ध-दीर्घ अक्ष है।
Q13. पृथ्वी की सतह पर किस स्थान पर गुरुत्वीय त्वरण ($g$) का मान अधिकतम होता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): पृथ्वी के आकार (ध्रुवों पर चपटी) और घूर्णन के कारण ($g_{\phi} = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$), ध्रुवों ($ \phi = 90^\circ$) पर $g$ का मान अधिकतम होता है।
Q14. एक तुल्यकाली (भू-स्थिर) उपग्रह का आवर्तकाल होता है: 1 Marks
उत्तर (Answer): तुल्यकाली उपग्रह पृथ्वी की परिक्रमा उसी दिशा में और उसी कोणीय चाल से करता है जिससे पृथ्वी घूमती है, इसलिए इसका आवर्तकाल 24 घंटे होता है।
Q15. यदि दो द्रव्यमानों के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाए, तो उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल हो जाएगा: 1 Marks
उत्तर (Answer): गुरुत्वाकर्षण बल $F \propto \frac{1}{r^2}$ होता है। यदि $r$ को दोगुना ($2r$) कर दिया जाए, तो $F' = \frac{F}{2^2} = \frac{F}{4}$ हो जाएगा। अर्थात् यह एक-चौथाई हो जाएगा।
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